Makalah Matematika Tentang "Barisan dan Deret Geometri"

MAKALAH

MATEMATIKA

“Barisan dan Deret Geometri”

D

I

S

U

S

U

N

OLEH:

KELOMPOK ....

1.       ..........................................

2.       ..........................................

3.       ..........................................

4.       ..........................................

5.       ..........................................

6.       ..........................................

7.   ..........................................

SMA/SMK ............................................

TAHUN AJARAN 20....-20....

KATA PENGANTAR

Assalaamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatu

Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, serta inayah-Nya kepada kami. Sehingga kami dapat menyelesaikan makalah Matematika ini dengan sebuah pembahasan tentang “Barisan dan Deret Geometri”.

Makalah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini. Serta ucapan terima kasih kepada guru pembimbing pelajaran Matematika. dimana atas bimbingan beliau kami dapat menyelesaikan makalah ini.

Terlepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ini.

Akhir kata kami berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat serta referensi pembelajaran maupun inpirasi terhadap pembaca.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatu

Palembang, ......................................

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita temui benda-benda disekita kita baik tanaman, batu, hewan dan lain-lain yang memiliki barisan bilangan tertentu. Sebagai contoh adalah tanaman bunga matahari. Dalam susunan biji bunga matahari (kwaci), jika dihitung banyaknya kwaci dari dalam sampai luar, maka jumlahnya akan tampak suatu barisan bilangan tertentu. Selain itu tidak hanya jumlah kwaci saja yang memiliki barisan bilangan, kita juga dapat melihat susunan daun pada bunga, segmen-segmen dalam buah nanas atau biji cemara.

Sebuah contoh diatas menunjukkan barisan bilangan 1 , 1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , . . . Barisan bilangan ini dikenal sebagai barisan bilangan fibonacci. Setiap bilangan atau angka dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya. Barisan bilangan fibonacci ini dikemukakan oleh Fibonacci yang nama lengkapnya adalah Leonardo Of Pisa (1180 – 1250). Ia menjelaskan teka-teki barisan fibonacci dalam karyanya yang berjudul Liber Abaci.

Dengan disusunnya makala ini, diharapkan dapat memberi wawasan dan pemahaman bagi para pembaca untuk menentukan suku ke-n barisan dan turunan geometri dan memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.

B.      Rumusan Masalah

Dari pemaparan latar belakang masalah di atas maka rumusan masalahnya adalah sebagai berikut:

      1.      Apakah yang dimaksud dengan barisan dan deret?

      2.      Apakah yang dimaksud dengan barisan dan deret geometri?

      3.      Bagaimana cara menghitung baris dan deret?

      4.      Bagaimana cara menghitung baris dan deret geometri?

C.      Tujuan Masalah

Dari rumusan masalah diatas maka tujuan dari penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut:

1.      Untuk Penulis

a.       Menambah wawasan penulis tentang baris dan deret geometri.

b.      Memperluas pemahaman penulis tentang baris dan deret geometri

2.      Untuk Pembaca

a.       Menambah wawasan pembaca tentang baris dan deret geometri

b.      Memperluas pemahaman pembaca tentang baris dan deret geometri

BAB II

PEMBAHASAN

A.      Barisan

Ø   Pengertian Barisan

Barisan bilangan adalah susunan bilangan atau urutan bilangan yang dibentuk menurut pola atau aturan tertentu. Aturan tertentu tersebut dapat berupa rumus, bentuk aljabar atau bentuk persamaan lainnya. Masing-masing bilangan disebut suku barisan dan dilambangkan dengan huruf “U”. Suku umum suatu bilangan dilambangkan dengan “U_n” dimana “n” menunjukkan nomor urut suku (n adalah bilangan asli). Jika bilangan pertama U₁, bilangan kedua U_2, bilangan ketiga U₃ . . ., dan bilangan ke-n adalah U_n, maka barisan bilangan itu dituliskan : U₁, U_2, U_{3, . . .} U_n.

Contoh Barisan

a.        1, 3, 5, 7, …

b.        2, 4, 6, 8, 10, …

c.        3, 6, 9, 12, …

d.       4, 8, 12, 16, …

Ø   Cara Menentukan Suku Tertentu Dari Suatu Barisan Langkah-Langkahnya

o    Indeks “n” menyatakan banyaknya suku

o    Gantikan nilai “n” dengan bilangan asli

o    Jika bilangan pertama U₃ buangan ke-2 U₂, dan bilangan ke-3 U₃, … dan bilangan ke-n adalah U_n maka barisan bilangan tersebut dapat di tulis sebagai berikut:

U1, U2, U3 . . . . Un

Contoh :

Tentukan tiga suku pertama pada barisan-barisan berikut ini, jika suku umum ke-n di rumuskan sebagai berikut:

a.         U_n = 4n+1

b.        U_n = 2n² – 1

c.         Un = 1 – 2n

Penyelesaian :

Karena U_n merupakan fungsi dari n maka suku pertama U₁ suku kedua U₂ dan suku ketiga U₃ dapat ditentukan dengan cara menghitung nilai fungsi Un untuk nilai-nilai n=1, n=2, n=3, sebagaimana ditunjukkan dalam perhitungan-perhitungan berikut ini.

a)        Suku umum ke-n, Un = 4n+1 Untuk n = 1 à U1 = 4 (1) + 1 = 5 Untuk n = 2 à U2 = 4 (2) + 1 = 9 Untuk n = 3 à U3 = 4 (3) + 1 = 13 b)        Suku umum ke - n, Un = 2n2 – 1 Untuk n = 1 à U1 = 2 (1)2 - 1 = 1 Untuk n = 2 à U2 = 2 (2)2 - 1 = 7 Untuk n = 3 à U3 = 2 (3)2 - 1 = 17

c)        Suku umum ke - n, Un = 1 – 2n Untuk n = 1 à U1 = 1- 2 (1)2 = - 1 Untuk n = 2 à U2 = 1- 2 (2)2 = - 7 Untuk n = 3 à U3 = 1- 2 (3)2 = - 17

Jadi, 3 suku pertama barisan itu adalah U₁ = -1, U_2­ = - 3, U₃ = - 5

Ø   Cara Menentukan Rumus Umum Suku ke-n Dari Suatu Barisan

Untuk menentukan rumus suku ke-n dari suku barisan, yaitu dengan cara mengamati pola aturan tertentu yang terdapat pada 3 suku atau 4 suku dari barisan tersebut.

Contoh :

Tentukan rumus umum ke – n dari barisan-barisan berikut ini:

a.      2, 4, 8, 16, 32, …

b.      4, 6, 8, 10, …

Penyelesaian :

a.         2, 4, 8, 16, 32, … dapat ditulis dengan (2)¹, (2)², (2)³, (2)⁴, (2)⁵, … barisan dengan suku-sukunya sama, yaitu 2 dipangkatkan dengan bilangan asli, jadi Un = 2ⁿ

b.        4, 6, 8, 10, … barisan dengan suku pertama U₁ = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan yaitu 2. Jadi Un = 2n+2

B.       Deret

Ø   Pengertian Deret

Dalam suatu barisan, Jika suku-suku pada barisan bilangan itu ditulis dalam bentuk penjumlahan beruntun U₁ + U₂ + U₃ + . . . + Un maka penjumlahan tersebut disebut deret.

Contoh deret

1.        1+2+3+4+5+  . . . .

2.        1+4+9+16+25+36+  . . . .

3.        1+4+7+10+13+ . . . .

Contoh yang bukan deret :

1.       1, 4, 9, 16, 25, 35 . . .

2.       4, 8, 12, 16 . . .

3.       1, 3, 5, 7 . . .

Ø   Cara menentukan suku tertentu dari suatu deret dan contoh soal

Suku tertentu dari suatu deret dapat ditentukan dengan cara mensubtitusikan nilai n yang menunjukkan suku ke-n dari dert tersebut ke dalam pola yang kita dapatkan dari bentuk seret tersebut.

Contoh :

Suatu deret      2+4+6+8+. . . +2n

Ø   Cara Menentukan Rumus Umum Suku ke- n Dari Suatu Deret

Aturan yang dimiliki oleh deretan buangan disebut pola bilangan pada deretan tersebut. Jadi untuk menentukan rumus umum suku ke-n dapat I tentukan melalui aturan pembentukan deret bilangan.

Contoh :

Diketahui deret aritmatika 6 + 8 + 10 + 12 + . . . .

Tentukan rumus umum suku ke-n pada deret aritmatika. . . .?

Penyelesaian :

Karena dilihat dari aturan pembentukan dari suku satu ke suku berikutnya ditambah 2, maka rumus suku ke-n memuat 2n yaitu :

Jadi, Un =2 n + 4

 Un =2n + 4.

C.      Baris Geometri

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai :

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

Cara menentukan rasio dari suatu barisan geometri dapat dilihat dari persamaan di bawah.

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertamadan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai adalah:

Contoh soal dan pembahasan menentukan suku ke-n dari suatu barisan geometri.
Tentukan suku ke-6 dari barisan geometri berikut!

512, 256, 128, ..., 2

Pembahasan:
Berdasarkan barisan bilangan pada soal dapat diperoleh informasi bahwa:

Suku ke – b dari barisan geometri tersebut adalah

Rumus lain yang tidak kalah penting untuk diketahui adalah rumus menentukan suku tengah dari barisan geometri. Rumus tersebut dapat dilihat berdasarkan persamaan di bawah.

Contoh soal dan pembahasan menentukan suku tengah dari suatu barisan geomteri.
Tentukan nilai suku tengah dari barisan geometri di bawah!

512, 256, 128, ..., 2

Pembahasan:
Mencari nilai n:

Mencari nilai suku tengah:

Jadi, suku tengah dari barisan geometri 512, 256, 128, ..., 2 adalah 32

D.      Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

Atau sebagai:

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai U_n adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

dengan syarat 0 < r < 1.

Atau:

dengan syarat r> 1.

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

Contoh soal dan pembahasan mengenai jumlah n suku pertama barisan geometri.
Tentuka jumlah 8 suku pertama dari deret geometri berikut!

2 + 4 + 8 + 16 + .....

Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal dapat diketahui bahwa

Menghitung 8 suku pertama dari deret geometri yang diberikan pada soal.

Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri tak berhingga dibedakan menjadi dua jenis, yaitu deret konvergen dan divergen. Deret konvergen adalah sebuah deret yang nilainya menuju suatu titik atau nilai tertentu. Ciri khas dari deret konvergen adalah mempunyai nilai rasio kurang dari 1 (r < 1). Sedangkan deret divergen adalah sebuah deret yang nilanya tidak pernah menuju suatu titik atau bilangan tertentu. Ciri khusus deret konvergen adalah mempunyai nilai rasio lebih dari 1 ( r > 1 ). Rumus deret geometri tak berhingga dinyatakan dalam persamaan di bawah.

Selain rumus umum deret geometri tak berhingga di atas. Terdapat beberapa rumus umum deret geometri yang dapat dilihat pada tabel di bawah.

Contoh soal dan pembahasan deret geometri tak berhingga.

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 20 meter dan memantul kembali dengan ketinggian  kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini terjadi terus-menerus. Panjang seluruh lintasan bola adalah ….
    A.   64 meter                                                           
    B.   84 meter                                                           
    C.   128 meter
    D.   180 meter
    E.   196 meter
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal dapat diketahui bahwa

Mencari panjang lintasan bola:
Perhatikan gambar di bawah!

Panjang lintasan turun:

Panjang lintasan naik:

Panjang lintasan total adalah penjumlahan lintasan turun dan naik, yaitu 100 + 80 = 180 meter.
Jawaban: D

BAB III

PENUTUP

A.      Kesimpulan

·         Barisan Bilangan adalah susunan bilangan atau urutan bilangan yang dibentuk menurut pola atau aturan tertentu.

·         Dalam suatu barisan, Jika suku-suku pada barisan bilangan itu ditulis dalam bentuk penjumlahan beruntun U₁ + U₂ + U₃ + . . . + Un maka penjumlahan tersebut disebut deret.

·         Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r.

·         Rumus Baris Geometri :

·         Deret Geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri.

·         Rumus Deret Geometri :

B.      Saran

Untuk meningkatkan prestasi belajar siswa perlu dikembangkan pendekatan pembelajaran yang dapat mengaktifkan siswa, mengkondisikan siswa sehingga dapat mengkonstruksi sendiri pengetahuannya dan menggunakan modelmodel yang dikembangkan sendiri oleh siswa.Namun demikian dalam implementasinya di sekolah tidaklah mudah, sehingga perlu kerja keras para guru dan siswa. Keberhasilan implementasi tergantung pada kemampuan guru untuk membuat suatu iklim dimana siswa mau mencoba berpikir dengan cara baru dan mengkomunikasikannya dengan orang lain.