MAKALAH
Matematika Peminatan
“Identitas Trigonometri”
D
I
S
U
S
U
N
OLEH:
Nama : .......................................
Nama : .......................................
Kelas : ................
Guru Pembimbing : .......................................
SMA/SMK ...........................................
TAHUN AJARAN ..............
KATA PENGANTAR
Assalaamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatu
Dengan menyebut nama Allah Subhana Wa Ta’ala yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, serta inayah-Nya kepada kami. Sehingga kami dapat menyelesaikan makalah Matematika ini dengan sebuah pembahasan tentang “Identitas Trigonometri”.
Makalah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini. Serta ucapan terima kasih kepada guru pembimbing pelajaran Matematika, dimana atas bimbingan beliau kami dapat menyelesaikan makalah ini.
Terlepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ini.
Akhir kata kami berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat serta referensi pembelajaran maupun inspirasi terhadap pembaca.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatu
Palembang, ...............................
Penyusun
Palembang, ...............................
Penyusun
Pengertian Identitas Trigonometri
Lengkap Dengan Rumusnya
A.
PENGERTIAN TRIGONOMETRI
Trigonometri yaitu bagian dari
ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut dari
suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Trigonometri
juga identik dengan fungsi trigonometri yang meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan) yang kesemuanya
itu merupakan cara untuk menentukan suatu sisi sebuah segitiga dan sudut yang
terbentuk dari dua buah sisi dalam sebuah segitiga. Aplikasi ilmu trigonometri digunakan dalam bidang astronomi,
geografi, elektronik, ekonomi, medical, teknik, dan masih banyak lagi.
Pada
umumnya, sebuah segitiga siku-siku terdiri dari 3 sisi (sisi miring, sisi
samping, dan sisi depan). Begitu juga untuk segitiga bentuk lainnya, hanya
saja, jenis sisi pada bentuk segitiga lainnya tidak dapat dibedakan. Jumlah sudut dalam segitiga
adalah 180 derajat. Hal ini terbukti jika ketiga sudut segitiga disusun
bersampingan akan membentuk sebuah garis lurus, seperti terlihat pada gambar di
bawah.
Kita tahu bahwa besar
sudut pada garis lurus adalah 180 derajat.
Sehingga, terbukti bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180 derajat.
B.
PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA
Sifat-sifat persamaan trigonometri sederhana untuk sinus, cosinus, dan
tangen adalah sebagai berikut :
1. Bentuk sin x
= sin p
Bentuk di atas
mempunyai dua macam penyelesaian, yaitu :
2. Bentuk cos x
= cos p
Bentuk di atas
mempunyai dua macam penyelesaian, yaitu :
3. Bentuk tan x
= cos p
Bentuk di atas
mempunyai penyelesaian sebagai berikut :
Contoh:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari sin 2x = ½ jika 0∘ ≤ x ≤ 360∘ !
Penyelesaian :
Persamaan (1)
·
Jika k = 0 maka
x1 = 15o
·
Jika k = 1 maka
x2 = 195o
Persamaan (2)
·
Jika k = 0 maka
x3 = 75o
·
Jika k = 1 maka
x4 = 255o
Jadi, himpunan
penyelesaiannya adalah {15o, 75o, 195o, 255o}.
Contoh:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari tan (4x – π) = 1 !
Penyelesaian :
·
Jika k = 0 maka
x1 = 56,25∘
·
Jika k = 1 maka
x2 = 101,25∘
·
Jika k = 2 maka
x3 = 146,25∘
·
Jika k = 3 maka
x4 = 191,25∘
·
Jika k = 4 maka
x5 = 236,25∘
·
Jika k = 5 maka
x6 = 281,25∘
·
Jika k = 6 maka
x7 = 326,25∘
·
Jika k = 7 maka
x8 = 371,25∘ = 11,25∘
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 11, 25∘ , 56, 25∘, 101, 25∘ , 146, 25∘, 191, 25∘, 236, 25∘, 281, 25∘, 326, 25∘ }.
C. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
Lingkaran
dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada
lingkaran dan sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r2 = x2 +
y2 sehingga diperoleh perbandingan trigonometri, yaitu antara lain sebagai
berikut ini :
D. PENGERTIAN IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri merupakan suatu relasi atau
kalimat terbuka yang di dalamnya memuat fungsi-fungsi trigonometri. Dimana
bernilai benar untuk tiap penggantian variabel dengan konstan anggota domain
fungsi. Kebenaran akan suatu relasi atau kalimat terbuka itu sendiri adalah
identitas yang harus dibuktikan kebenarannya. Ada beberapa pilihan yang bisa
digunakan sebagai pembuktikan identitas. Adapun pilihan tersebut ialah
menggunakan rumus-rumus atau identitas-identitas yang sudah dibuktikan
kebenarannya.
Fungsi trigonometri itu sendiri terdiri atas sin,
cos, tan, cosec, sec, serta cotan. Fungsi trigonometri ini bisa digunakan untuk
menentukan sisi sebuah segitiga ataupun sudut yang dibentuk dari dua buah sisi
yang ada di dalam sebuah segitiga. Aplikasi ilmu trigonometri ini diterapkan
dalam bidang astronomi, ekonomi, medical, teknik, geografi, elektronik, dan
masih banyak lainnya.
Sebuah segitiga siku-siku secara umum terdiri dari
3 sisi, yakni sisi miring, sisi samping, dan sisi depan. Hal ini juga untuk
segitiga dengan bentuk lainnya. Hanya saja, jenis sisi yang ada di bentuk
segitiga lainnya tak bisa dibedakan. Diketahui juga bahwa jumlah sudut yang ada
di dalam segitiga sebesar 180 derajat. Hal ini terbukti apabila ketiga sudut
segitiga disusun secara bersampingan, maka akan membentuk sebuah garis lurus.
Seperti yang kita semua ketahui, besar sudut yang ada pada garis lurus ialah
180 derajat. Dengan begitu, terbukti bahwa jumlah ketiga sudut yang ada di
dalam sebuah segitiga sebesar 180 derajat.
E.
MEMBUKTIKAN KEBENARAN IDENTITAS
Kebenaran suatu relasi atau kalimat terbuka merupakan identitas perlu dibuktikan kebenarannya.
Ada tiga pilihan pembuktian identitas, yaitu menggunakan rumus-rumus atau
identitas-identitas yang telah dibuktikan kebenarannya dengan cara subsitusi trigonometri
dan manipulasi aljabar dengan tujuan:
1.
Mengubah bentuk
pada ruas kiri identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kanan, atau
2.
Mengubah bentuk
pada ruas kanan identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kiri.
Satu hal yang harus diingat dalam membuktikan identitas trigonometri adalah
kita harus bekerja pada masing-masing ruas secara terpisah. Kita tidak boleh
menggunakan sifat-sifat aljabar yang melibatkan kedua ruas identitas seperti
sifat penjumlahan kedua ruas persamaan. Karena, untuk melakukan hal tersebut,
kita harus menganggap bahwa kedua ruas sudah sama, yang merupakan suatu hal yang
akan kita buktikan. Intinya, kita tidak boleh memperlakukan masalah sebagai
suatu persamaan.Sebagaicontohkitaambil dua identitas Pythagoras terakhir dapat
diturunkan dari identitas sebelumnya, yaitu cos² θ +
sin² θ = 1, dengan membagi kedua ruasnya secara berturut-turut
dengan cos² θ dan sin² θ. Sebagai contoh, dengan
membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan
cos² θ, kita mendapatkan
Untuk menurunkan identitas Pythagoras terakhir, kita harus membagi kedua
ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan sin² θ untuk
mendapatkan 1 + cot² θ = csc² θ.
PETUNJUK UNTUK MEMBUKTIKAN IDENTITAS
- Biasanya akan lebih mudah jika kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.
- Carilah bentuk yang dapat disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.
- Perhatikan operasi-operasi aljabar, seperti penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin dapat menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal dapat membimbing kita kepada bentuk yang dapat disederhanakan.
- Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut bisa membantu.
- Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.
Selain petunjuk-petunjuk di atas, cara terbaik untuk menjadi mahir dalam
membuktikan identitas trigonometri adalah dengan banyak latihan. Semakin banyak
identitas trigonometri yang telah kita buktikan, maka kita akan semakin ahli
dan percaya diri dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya. Kita tidak
boleh takut untuk berhenti kemudian memulai kembali jika langkah-langkah kita
menemui jalan buntu. Sebagian besar identitas trigonometri dapat dibuktikan
dengan menggunakan berbagai macam pembuktian. Beberapa pembuktian mungkin lebih
panjang dari pembuktian yang lain.
F.
RUMUS IDENTITAS TRIGONOMETERI
Rumus identitas trigonometri memiliki pernyataan mengenai hubungan suatu fungsi dengan fungsi trigonometri yang lainnya. Misalnya saja, fungsi secan yang adalah fungsi kebalikan dari fungsi cosinus. Hal ini juga berlaku untuk fungsi kebalikan lain. Selain fungsi kebalikan, ada juga fungsi identitas trigonometri yang menyatakan mengenai hubungan antar fungsi trigonometri. Beberapa hubungan persamaan tersebut bisa dilihat dari rumus berikut.
Rumus tersebut adalah rumus turunan yang didapat dengan
menghubungkan suatu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri yang
lainnya. Cara membuktikan kebenarannya bisa dengan cara merubah ruas kiri
supaya sama dengan ruas kanan. Selain itu, bisa juga dengan sebaliknya.
Sebenarnya, terdapat banyak fungsi identitas trigonometri. Adapun rumus
identitas trigonometri lainnya ialah sebagai berikut.
Dalam sebuah segitiga siku-siku, sisi depan adalah
sisi yang ada di depan sudut. Sisi samping ada di samping sudut. Sementara sisi
miring adalah sisi yang selalu berhadapan dengan sudut sebesar 90 derajat. Oleh
karena itu, letak sisi depan, sisi samping, serta sisi miring dipengaruhi oleh
letak sudut.
Selain itu, anda juga akan mengenal istilah
jembatan keledai. Istilah ini bisa digunakan untuk mengingat persamaan fungsi
trigonometri. Jembatan keledai ini berbunyi sindemi cossami tandesa. Sindemi
berarti sinus depan miring, cossami singkatan dari cosinus samping miring,
sementara tandesa ialah tangen depan samping.
G. CONTOH SOAL IDENTITAS TRIGONOMETRI
BERSERTA PENYELESAIANNYA
Berikut ini beberapa contoh
identitas trigonometri berserta penyelesaiannya untuk masing-masing identitas
trigonometri yang diberikan:Soal 1
Soal 2
Soal 3
Soal 4
Soal 5
Soal 6
Soal 7
Soal 8
Soal 9
Soal 10
thanks :*
ReplyDelete